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基于常微分方程的中国人口增长预测

基于常微分方程的中国人口增长预测

摘要

人口问题是制约我国经济和社会发展的一个很重要的方面,因此对人口的预测是一个由来已久的研究课题,但传统方法往往是使用单一的模型(如灰色系统模型、自回归模型和指数模型等)进行计算,因而考虑的影响因素不够全面。事实上,人口的增长的影响因素是多方面的,如出生率、死亡率、城市化进程、国家生育政策、经济发达程度、生活方式、传统习惯和自然灾害等。结合我国的发展实际(中国是一个经济高速发展的发展中国家,人口多、区域经济发展不平衡、人口老龄化加剧和相当长一段时间里实行计划生育的国策等),考虑其中主要的影响因素(如人口结构、人口年龄分布以及老龄化等)建立了我们的模型。

本文是基于微分方程的思想建立的人口预测模型,以附录2的人口普查数据为基础数据。在对数据进行评估和修订的基础上,建立女性的生育儿童的函数,利用各个年龄段的生育率求出婴儿的出生率。之后,考虑各个年龄段的人口分布,利用人口年龄密度函数、对应年龄人的死亡率和新生儿的出生率来算次年的人口总数。建立了人口总数、各个年龄段人口密度、自然增长率等关于年龄与时间的数学函数模型。在此基础上,考虑到国家政策调控、农村人口城市化、社会老龄化、科技医疗水平进步以及可能的如艾滋病等疾病对出生率、死亡率等的影响,并采用添加干预因子的方法对模型进行了矫正分析,以体现这些因素对人口增长趋势的影响。

采取上述人口预测的建模思想,我们最终得到了中国人口增长的数学模型,利用附录2中人口数据进行模拟、预测计算,得到了我国人口增长预测的一些结果:对我国人口进行中短期和长期预测,我国人口在20xx年达到13.565亿(短期);在2020年达到14.767亿(中期);在2040年达到14.843亿(长期)。其中我国在2028年左右会达到人口最高蜂,约为15.17亿人左右。

在对模型的分析中,我们看到我国将出现老龄化(年龄大于60)趋势。在20xx年后,老龄化趋势加快,预计在2015年达到12%,此后我国将进入人口老龄化迅速发展时期。预测显示从2015到2040年间里,中国老年人比例会增加一倍左右。

关键词:干预因子,人口年龄分布,微分方程,老龄化,人口结构,出生率

一、问题的重述

我国是一个人口大国,人口问题对我国的经济发展有着很大的影响,是制约我国经济发展的关键因素之一。根据最新的“20xx年全国%1人口抽样调查公报”指出,我国人口和计划生育工作进入稳定低生育水平、统筹解决人口问题、促进人的全面发展的新阶段。要统筹解决人口与社会发展的各种问题,必须对目前和将来一段时间内的人口问题进行科学的判断,如城市化问题、老龄化问题、出生人口性别比持续升高问题。因此要制度科学的人口政策需要对未来中国的人口变化进行科学预测。

关于中国人口的预测,目前已经有了许多的模型。根据题意,本文从中国的实际情况和人口增长的特点,建立对中国人口增长的中短期和长期的模型预测。

二、问题的分析

由于影响人口增长的因素比较复杂,从中国的实际情况和人口增长的特点如果一开始把众多因素都考虑进去,将会对模型的求解很困难。所以我们首先考虑影响人口变化的一些基本因素,如出生率、死亡率、人口年龄的结构密度等。其中人口的年龄结构将在未来一段时间内,产生很大的影响。在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的,因为不同的年龄人的生育率和死亡率有很大的差别,未来的人口发展状况将大不一样。下图是我们根据附表2的数据计算出的01-05年人口年龄密度图。

我们从图2-1中可看到01-05年年龄结构中,老年人数量有增大的趋势。对此我们可预见我国人口结构有老龄化趋势。在模型的建立中我们可看到这一点。


图2-1

在解决变化率的问题时,常常引用微分方程的方法[1]。在此基础上,我们考虑人口按年龄的分布,即除了时间变量外,年龄是另一自变量,来建立微分方程模型。考虑各种微分方程的方法,指数增长模型和阻滞增长模型(logistic人口增长模型)显然考虑的因素太少,很难做出合适的模型。宋健模型中考虑的问题比较全面,可以取其优秀的地方学习。可是宋健模型假定死亡率不随时间t的变化而改变,未考虑各种因素对死亡率的影响。

由此,我们考虑到在宋健模型的基础上加以深化,考虑人口结构、城市化、老龄化、社会发展等因素对死亡率、生育率的影响,用变化的死亡率和生育率来预计未来的人口结构等。从而实现中国人口增长的中短期和长期的模型预测。

三、模型的基本假设和符号说明
(1)模型的假设

1我们研究的人口是一个整体系统

2影